不完全能控系统的能控子空间

对于系统：

由于系统不完全可控，因此，记，则可以从中抽出k个线性不相关的向量，作为基底。分别记为：

则均可由线性表示。

已知均可由线性表示，因此，他们可以直接由线性表示。
此外，可以再取(n-k)个与不相关，并且互相之间也不相关的变量，记为。取，显然，Q是满秩矩阵。

以作为基底，由于均可由线性表示，因此有：

后面取的左乘A后虽然不能仅用q_1 q_2 ⋯q_k线性表示，但可以使用所有q，即线性表示。因此，有：

因此，合并上述式子，可以得到：

因为B也与线性相关，因此：

相似的，可以得到：

因此，系统可以表示为：

展开可以得到：

只取¯X_1为状态展开一个状态的子空间，¯X_2状态取为0。此时的空间，即为题目需要求证的空间。上式退化为：

此时，系统的能控性矩阵为：

而变换后的整个系统的能空性矩阵为：

变换前后，系统能控性不变，因此：

此时，对于子系统来说，必能由线性表示，因此，也能由线性表示。即后面的相必与前面k项线性相关。又因为，所以前面k项线性不相关。因此可以推出：

子系统能控性矩阵满秩，因此子系统完全能控，因此中的表示了能控子空间的状态。

举例说明：
对于系统：，
其中，。
验证中的为其能控子系统。
求得：
所以能控性矩阵为：

其秩为：
因此，系统不完全能控。在能控性矩阵中，取出，再取一个与他们都不相关的变量，组成矩阵。


其中，
可以得到该系统的能控性矩阵为

其秩显然为2，因此完全能控。因此可以说明中的表示了能控子空间的状态。